本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。从题型来讲，单项选择题、填空题、简答题和计算题的题型都要加以练习。
 
5.1 频率特性
（一）频率特性的定义
1.频率特性的基本概念：在正弦信号作用下，系统输入量的频率由0变化到 ¥ 时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。
 
 
 
 
 
 

稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
2.频率响应：指系统对正弦输入信号的稳态响应。即系统在正弦输入下，输出量的稳态量与输入正弦信号的复数比。在这种情况下，系统的输入信号是正弦信号，系统的内部信号以及系统的输出信号也都是稳态的正弦信号，这些信号频率相同，而幅值和相角却不同。
频率特性的求法：频率响应求取、传递函数法求取和实验测得
       传递函数                 频率特性
方法：将传递函数中的s换为              来求取
关系：
 
 
 

 
 
 
 
 
 

3.频率特性的表示方法
 
F(w)=稳态输出量与输入量的变化
 
幅频特性：

 

相频特性：

 

实频特性：

 

虚频特性：
 
频率特性是   的复变函数，其幅值为     ，相位为      。
4.频率特性的特点：
       ①频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型
       ②频率特性是传递函数的特例
       ③频率特性是系统单位脉冲函数的Fourier变换
       ④分析方便，易于实验求取
5.系统微分方程、传递函数、频率特性之间的关系
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
5.2 频率特性的对数坐标图
（一）对数坐标图的表示方法和特点
概念：频率特性的对数坐标图称为Bode图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图。
          对数频率特性图                             Bode图
                                                     波德图 (Bode)
                                                     对数幅频+对数相频
幅值相乘变为相加，简化作图。
（2）对数坐标
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      特点：①ω =0不可能在横坐标上表示出；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；只标注ω的自然对数值。
          ②通常用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增益，用j(ω)简记对数相频特性。
 
 
 
（二）典型环节的对数频率特性图
①比例环节  G(jw)=K
对数频率特性

 

改变K→幅频曲线升高或降低，相频曲线不变
对数幅频特性：过（1,20lgK）的水平线
K>1时，分贝数为正；
K<1时，分贝数为负。
②积分环节

 

对数频率特性

 
 
 

对数幅频特性：过（1,0）斜率-20dB/dec的直线
 
③纯微分环节
对数频率特性
 
 
 
 
 
 
对数幅频特性：过（1,0）斜率20dB/dec的直线
④惯性环节               
 
 
 

对数频率特性

 
 
 
 
 

⑤一阶微分环节
对数频率特性

 
 
 
 
 
 
 

作用：高频放大，抑制噪声能力的下降
 
⑥惯性环节VS一阶微分环节

 

惯性环节
一阶微分

 
 
 
 
 
 


两者之间的联系与区别： ①频率特性互为倒数时：②对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； ③相频特性曲线关于零度线对称。
 
⑦振荡环节




【例题】二阶振荡环节的相频特性，当时，其相位移为   (     )
A．-270°                          
B．-180°
C．-90°                           
D．0°
【答案】B
【解析】二阶振荡环节的相频特性，当时，其相位移为0，当时，其相位移为-180°。
 
（三）绘制系统伯德图的一般步骤和方法
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

【例题】已知单位负反馈系统的开环传递函数                       ，画出其对应的开环对数幅频特性L（ω）（渐近线）
【解析】该系统开环增益K＝100；
有一个积分环节，即v＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec；
有两惯性环节，对应转折频率为          ，            ，斜率分别增加－20dB/dec
系统对数幅频特性曲线如下所示。

 
（四）系统类型和对数幅频曲线之间的关系
系统开环对数幅频特性曲线的低频段的斜率取决于系统积分环节个数，若积分环节个数用v表示，则低频段斜率为v·(-20)dB/dec。
【例题】Ⅱ型系统开环对数幅频渐近特性的低频段斜率为（　 　）
A. -40(dB/dec)                 
B. -20(dB/dec)
C. 0(dB/dec)                       
D. +20(dB/dec)
【答案】A
【解析】系统的型次由系统中积分环节个数决定，Ⅱ型系统的积分环节个数为2，其对数幅频特性曲线的低频段斜率由积分环节个数V决定，斜率= -20*2(dB/dec)= -40(dB/dec)。
 
5.3 频率特性的极坐标图
（一）极坐标图的表示方法和特点
极坐标图的概念：频率特性的极坐标图称为Nyquist图，也称幅相频率特性图。在极坐标复平面上画出w值由零变化到无穷大时，G(jw)端点的轨迹。

 
 
 
 
 
 
 
 

频率特性的极坐标表示         频率特性极坐标图
 
（二）典型环节的幅相频率特性图（注意单选题和填空题）
①比例环节  G(jw)=K
幅相频率特性
 
 
 
 
 

实轴上的一定点，其坐标为（K,j0）
 
②积分环节
幅相频率特性
 
 
 
 

虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点
③纯微分环节
幅相频率特性
   
虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点
④惯性环节               
 
 

 
 
 
 
 
 

⑤一阶微分环节
⑤一阶微分环节
幅相频率特性
 
|，

始于（1，j0），平行于虚轴
 
 
 
 
典型环节频率特性极坐标图的大致走向
 
 
 
 
 
 
（三）系统极坐标图的一般画法
按各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。它是一条大致的曲线，需要准确计算的地方：负实轴相交的点。
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：
奈氏曲线在 w=0 到 0+ 的变化随系统的不同而差别很大：
（1）“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始
（2）“I”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=∞处）开始， w=0+ 就转过-90°到负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限
（3）“II”型系统：奈氏曲线也是从实轴（幅值=∞处）开始， w=0+ 就转过-180°到负实轴；是在第二或第三象限，也是比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和，前者大则第三象限，否则第二象限。
 
 
 
 
 
 
 
 
奈氏曲线w =∞处是原点，切入方向根据零、极点确定,即： N(-90°) +M(90°)
求奈氏曲线与实轴的交点：令虚部为零，得到w代入实部而得
 

 
 
 
 
 
 

（四）系统开环频率特性的绘制小结：
（1）绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出。
（2）绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）：抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得。
（3）GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于，单位圆的内部对应于
【例题】极坐标图(Nyquist图)与对数坐标图(Bode图)之间对应关系为：极坐标图上的单位圆对应于Bode图上的        ；极坐标图上的负实轴对应于Bode图上的              。
【答案】0分贝线，-180º线
【解析】极坐标上的单位圆上是由幅值为M (ω)=1，对应于对数坐标上为L(ω）=20lgM(ω)=0,所以，极坐标图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线，极坐标图上的负实轴对应的相位角是-180º，所以极坐标图上的负实轴对应于Bode图上的-180º线。
 
5.4最小相位系统的概念
（一）最小相位系统和非最小相位系统的定义
定义：若系统的开环传递函数的所有零点和极点均在s平面的左半平面时，则该系统称为最小相位系统，反之，则为非最小相位系统。对于最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的变化范围最小。(注意填空题、选择题)
【例题】下列开环传递函数所表示的系统，属于最小相位系统的有（     ）
A. (s-1)/(4s+1)(s+1)
B. (1-5s)/(1+7s)
C. (2s+1)/(2s-1)(s-1)
D. (2s+2)/(s+3)(s+4)
【答案】D
【解析】若系统的开环传递函数的所有零点和极点均在s平面的左半平面时，则该系统称为最小相位系统，反之，则为非最小相位系统。
（二）由对数幅频曲线估计系统传递函数
    方法：首先可以通过给系统施加正弦输入信号来测得系统的实验频率特性，根据实验频率特性，可画出系统的对数幅频曲线，将该曲线用斜率0，±20db/dec, ±40db/dec等直线近似，即得到渐近对数幅频特性曲线，如果可以确定系统为最小相位系统，则可直接根据渐近对数幅频特性估计系统的传递函数。
【例题】由实验得到的最小相位系统对数幅频曲线如图所示，求该系统的传递函数

 
 
 
 
 
 
 
 

【答案】
 
【解析】由伯德图的低频段斜率为-20dB/dec，可判断系统中只有一个积分环节，第一段线的延长线与横轴的交点为7.5，可得系统的增益k=7.5,曲线有3处转折，分别为ω= 、2、3 处，由ω= 处斜率减40 dB/dec，得ω= 是振荡环节的转角频率，此环节的表达式为，由ω= 2处斜率减20 dB/dec，得ω= 2是惯性环节的转角频率，此环节的表达式为，由ω= 3处斜率加20 dB/dec，得ω=3是一阶微分环节的转角频率，此环节的表达式为，。总的系统传递函数为各个典型环节的传递函数的串联，即相乘，所以。
69:57   4197000
5.5 开环频率特性与系统时域性能的关系
通常以穿越零分贝线的频率为标准，将系统时域划分为低频段、中频段和高频段3个频段。
1.低频段：开环对数幅频特性的第一个转折频率以前的区段称为低频段。该段取决于系统开环增益K 和开环积分环节的数目v。低频段决定了系统稳态精度。
提高系统开环频率特性低频段的幅值或增大低频段斜率的绝对值（型号数增加），都有利于系统稳态误差的减小
2.中频段：指L()穿过0dB线(即附近)的频段，其斜率及宽度(中频段长度)集中反映了动态响应中的平稳性和快速性。相角裕量、超调量与系统的阻尼比有确切的关系，阻尼比ζ增大，相角裕量增大，超调量减小。当阻尼比ζ>0.5时，L()以-20dB/dec穿过0dB线。开环截止频率反映了系统响应的快速性。
3.高频段：指L()曲线在中频段以后的区段，反映出系统的低通滤波特性，形成了系统对高频干扰信号的抑制能力。
5.6 闭环频率特性与频域性能指标
1.闭环频率特性
 
2.闭环频域指标：
（1）零频幅值： w=0时闭环幅值。
（2）谐振峰值：闭环幅频最大值。
（3）谐振频率：谐振峰值时频率。
（4）频带宽度：闭环幅值减小到时的频率，称为频带宽度。
通常用和（或）作为闭环系统的频域动态指标。过大会使系统振荡剧烈、平稳性差，而频带宽度大则系统响应较快。             

 
 

           
 
 
 
 
 
3.性能指标之间的关系
与的关系：
谐振频率为：

 

谐振峰值：
 
可见，与z成反比。相同的z，Mr较高，超调量也大，且收敛慢，平稳性及快速性都差。当时，对应， 可获得适度的振荡性能。若出现，则与此对应的可高达40%以上。
、与wd 、 wb 的关系
欠阻尼系统

 

谐振频率

 

上升时间
 
大小表征了系统的响应速度，上升时间随成反比变化，值越大，时间响应就越快。对于给定z，与wb成反比。如果系统带宽大，则说明系统 “惯性” 小，动作迅速，也小。若知道频域指标中的任两个，就可解算出 ，从而求出时域指标。反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。